幂函数导数-和记娱乐手机

　　幂函数求导公式：y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)。幂函数导数公式的证明：y=x^a，两边取对数lny=alnx，两边对x求导（1/y)*y'=a/x，所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)。

　　幂函数求导公式

　　幂函数导数公式的证明：

　　y=x^a。

　　两边取对数lny=alnx。

　　两边对x求导(1/y)*y'=a/x。

　　所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)。

　　在这个过程之中：

　　1、lny首先是y的函数，y又是x的函数，所以，lny也是x的函数。

　　2、lny是一目了然的，是显而易见的，是直截了当的，所以称它为显函数，explicitfunction。

　　3、设u=lny，u是y的显函数，它也是x的函数，由于是隐含的，称为隐函数，implicit。

　　4、u对y求导是1/y，这是对y求导，不是对x求导。

　　5、u是x的隐函数，u对x求导，用链式求导，chainrule。

　　6、u对x的求导，是先对y求导，然后乘上y对x的求导，也就是：

　　du/dy=1/y。

　　du/dx=(du/dy)*(dy/dx)=(1/y)*y'=(1/y)y'。

　　幂函数的单调区间

　　当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：

　　①当α为正奇数时，图像在定义域为r内单调递增；

　　②当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增；

　　③当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域r内单调递减）；

　　④当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。

　　当α为分数时（且分子为1），α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：

　　①当α>0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增；

　　②当α>0，分母为奇数时，函数在第一三象限各象限内单调递增；

　　③当α<0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减；

　　④当α<0，分母为奇数时，函数在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域r内单调递减）。